Question

如圖，點(diǎn)P、Q是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

1. A.
   BP=CM
2. B.
   △ABQ≌△CAP
3. C.
   ∠CMQ的度數(shù)不變，始終等于60°
4. D.
   當(dāng)?shù)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png' />秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形

Answer 1

A
分析：A、等邊三角形ABC中，AB=BC，而AP=PQ，所以BP=CQ．
B、根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
C、由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠CMQ=60°；
D、設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)椤螧=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．
解答：解：A、在等邊△ABC中，AB=BC．
∵點(diǎn)P、Q的速度都為1cm/s，
∴AP=PQ，
∴BP=CQ．
只有當(dāng)CM=CQ時(shí)，BP=CM．
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故本選項(xiàng)正確；
C、點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故本選項(xiàng)正確；
D、設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=，
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，
∴當(dāng)?shù)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png' />秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．
故本選項(xiàng)正確．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟知等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°是解答此題的關(guān)鍵．