Question

如圖，點(diǎn)M、N是邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：將△AMN沿MN折疊使A點(diǎn)恰好落在BC邊上D點(diǎn)處．

(1)△BDM與△CND相似嗎？為什么？

(2)若BD∶CD＝2∶3，試求AM∶AN的值；

(3)若DN⊥BC，試求CN的值；

(4)當(dāng)D從B移動(dòng)到C，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的總路線長(zhǎng)為多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)△BDM與△CND相似………………………………1分 　　因?yàn)椋河煞�折可知：△AMN≌△DMN 　　有∠MDN＝∠A，而△ABC為正三角形， 　　所以∠A＝∠B＝∠C＝60°………………………………2分 　　即∠MDN＝∠A＝60° 　　而∠B＋∠BMD＝∠MDC＝∠MDN＋∠NDC＝60°＋∠NDC 　　所以∠BMD＝∠CDN………………………………3分 　　在△BDM和△CND中 　　∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠NDC 　　所以△BDM∽△CND………………………………4分 　　(2)設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，由BC＝4，BD∶CD＝2∶3，得BD＝1.6，CD＝2.4；由翻折可知：DM＝AM＝x，DN＝AN＝y(tǒng) 　　因?yàn)椤鰾DM∽△CND 　　所以………………………………5分 　　即………………………………6分 　　化簡(jiǎn)整理，得x∶y＝7∶8，即AM∶AN的值為7∶8……………………8分 　　(3)當(dāng)DN⊥BC時(shí)，則△DCN為Rt△， 　　cosC＝＝，設(shè)CD＝a，那么CN＝2a，AN＝DN＝4－2a 　　tanC＝，則DN＝， 　　由AN＝DN，即4－2a＝ 　　所以a＝8－4………………………………10分 　　即CN的值為16－8………………………………11分 　　(說(shuō)明：本小問(wèn)也可以運(yùn)用勾股定理列一元二次方程來(lái)求a的值) 　　(4)當(dāng)D從B移動(dòng)到C，點(diǎn)N從點(diǎn)C(圖1)開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)到圖2的N點(diǎn)，再往回運(yùn)動(dòng)到(圖3)AC的中點(diǎn)． 　　由第(3)問(wèn)可知：當(dāng)D從B移動(dòng)到C，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的總路線長(zhǎng)為16－8＋(16－8－2)＝30－16………………………………14分