Question

3．如圖，拋物線y=ax²-2ax-3a交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，S_△ABC=6，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，連接PC、AQ，當(dāng)PC=$\frac{5}{9}$AQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCQ的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積求出a即可得出拋物線解析式；
（2）先判斷出∠OBC=45°，而點(diǎn)P在第一象限，所以得出CP∥OB即：點(diǎn)P和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)一樣，即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)Q在第二象限，且橫坐標(biāo)相差1，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P（3-m，-m²+4m）（0＜m＜1）；得出點(diǎn)Q（4-m，-m²+6m-5），得出CP²，AQ²，最后建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax-3a=a（x+1）（x-3），
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），
∴AB=4，OC=|-3a|=|3a|，
∵S_△ABC=6，
∴$\frac{1}{2}$AB•OC=6，
∴$\frac{1}{2}$×4×|3a|=6，
∴a=-1或a=1（舍），
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）由（1）知，B（3，0），C（0，-3a），
∴C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
由（1）知，拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
令y=3，∴-x²+2x+3=3，
∴x=0（舍）或x=2，
∴P（2，3）；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交CQ于D，設(shè)P（3-m，-m²+4m）（0＜m＜1）；
∵C（0，3），
∴PC²=（3-m）²+（-m²+4m-3）²=（m-3）²[（m-1）²+1]，
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1，
∴Q（4-m，-m²+6m-5），
∵A（-1，0）．
∴AQ²=（4-m+1）²+（-m²+6m-5）²=（m-5）²[（m-1）²+1]
∵PC=$\frac{5}{9}$AQ，
∴81PC²=25AQ²，
∴81（m-3）²[（m-1）²+1]=25（m-5）²[（m-1）²+1]，
∵0＜m＜1，
∴[（m-1）²+1]≠0，
∴81（m-3）²=25（m-5）²，
∴9（m-3）=±5（m-5），
∴m=$\frac{1}{2}$或m=$\frac{26}{7}$（舍），
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），Q（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∵C（0，3），
∴直線CQ的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+3，
∵P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴D（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
∴PD=$\frac{7}{4}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△PCQ=S_△PCD+S_△PQD=$\frac{1}{2}$PD×x_P+$\frac{1}{2}$PD×（x_Q-x_P）=$\frac{1}{2}$PD×x_Q=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{7}{2}$=$\frac{35}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，平行線的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷出PC∥OB，難點(diǎn)是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，是一道比較好的中考�？碱}．