Question

已知：如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，PO交AB于點(diǎn)M，C是MB上的一點(diǎn)，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，PD⊥OE，垂足為D，且OC=3，OD=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：先利用切線的性質(zhì)證明△OCM∽△OP′D，則

OC

OP

=

OM

OD

，可以求得OP•OM，再利用切線的性質(zhì)得△OBM∽△OPB，則

OB

OP

=

OM

OB

，從而求出OB，即⊙O的半徑．

解答：解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠1=∠2，
∴PO⊥AB，即∠BMO=90°，
又PD⊥OD，
∴∠PDO=90°，
∴∠BMO=∠PDO，
∵∠COM=∠DOP，
∴△OCM∽△OP′D，
∴

OC

OP

=

OM

OD

，
∴OP•OM=OC•OD，
又OC=3，OD=8，
∴OP•OM=3×8=24，
∵OP是⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
又∵PO⊥AB，
∴△OBM∽△OPB，
∴

OB

OP

=

OM

OB

，
∴OB²=OP•OM=24，
∴OB=2

6

，
故⊙O的半徑為2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．