Question

【題目】如果把一個(gè)奇數(shù)位的自然數(shù)各數(shù)為上的數(shù)字從最高位到個(gè)位依次排列，與從個(gè)位到最高位依次排列出的一串?dāng)?shù)字完全相同，相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之差的絕對(duì)值相等（不等于0），且該數(shù)正中間的數(shù)字與其余數(shù)字均不同，我們把這樣的自然數(shù)稱為“階梯數(shù)”，例如自然數(shù)12321，從最高位到個(gè)位依次排出的一串?dāng)?shù)字是：1，2，3，2，1，從個(gè)位到最高位依次排出的一串?dāng)?shù)字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一個(gè)“階梯數(shù)”，又如262，85258，…，都是“階梯數(shù)”，若一個(gè)“階梯數(shù)”t從左數(shù)到右，奇數(shù)位上的數(shù)字之和為M，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為N，記P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．
（1）已知一個(gè)三位“階梯數(shù)”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)三位數(shù)；
（2）已知一個(gè)五位“階梯數(shù)”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數(shù)”t的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t= ，

∴M=a+a=2a，N=a+k，

∴P（t）=2N﹣M=2（a+k）﹣2a=2k=12，

∴k=6，

∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6為一個(gè)完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，

∴9≤3a+6≤33，

∴3a+6=9，16，25，

∴a=1，

∴t=171；

（2）解：設(shè)某五位階梯數(shù)為 ，

∵ = =2778a+302k+ ，

∴2k﹣a是4的倍數(shù)，

∵M(jìn)=3a+2k，N=2A+2K，

∴Q（t）=M+N=5a+4k，

∴ =k+a+ ，

∴a﹣2是4的倍數(shù)，

∵1≤a≤9，

∴﹣1≤a﹣2≤7，

∴a﹣2=0，4，

∴a=2，6

當(dāng)a=2時(shí)， 為整數(shù)且0≤2+2k≤9，

∴﹣1≤k≤ ，

∴k=±1，3，

所以t=21012，23432，25852；

當(dāng)a=6時(shí)， 為整數(shù)且0≤6+2k≤9，

∴﹣3≤k≤ ，

∴k=±1，﹣3，

所以t=63036，65456，67876．

所以該五位“階梯數(shù)”t的最大值是67876，最小值是21012．

【解析】（1）設(shè)“階梯數(shù)”t的百位為x，相鄰兩數(shù)的差為k，則t= a ( a + k ) a ，可得M=a+a=2a，N=a+k，根據(jù)P（t）=12，得到關(guān)于k的方程，可求得k=6，再根據(jù)Q（t）=3a+6為一個(gè)完全平方數(shù)，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1,從而得到這個(gè)三位數(shù)；
（2）設(shè)某五位階梯數(shù)為 a ( a + k ) ( a + 2 k ) ( a + k ) a ，根據(jù) = =2778a+302k+ ，可得2k﹣a是4的倍數(shù)，根據(jù)M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，則=k+a+,可得a﹣2是4的倍數(shù)，根據(jù)完全平方數(shù)的定義得到a=2，6，再分兩種情況求出T的值，進(jìn)一步得到該五位“階梯數(shù)”t的最大值和最小值。