Question

BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，易證FG=

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2

（AB+BC+AC）．
（1）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，F(xiàn)G與△ABC三邊有怎樣的數(shù)量關系？畫出圖形并說明理由；
（2）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線，F(xiàn)G與△ABC三邊有怎樣的數(shù)量關系？畫出圖形并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，再由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，進一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG即可得出答案；
（2）與（1）的方法類同，即可證出答案．

解答：解：（1）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF
∴MB=AB
∴AF=MF
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG=

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MN，
=

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2

（BM+CN-BC），
=

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（AB+AC-BC），
∴線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關系是FG=

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（AB+AC-BC）；

（2）延長AF、AG，與直線BC相交于M、N，
同樣由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG
∴FG=

1

2

MN，
=

1

2

（CN+BC-BM），
=

1

2

（AC+BC-AB）．
∴線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關系是FG=

1

2

（AC+BC-AB）．

點評：本題主要考查了三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關鍵是作輔助線轉化成三角形的中位線．