Question

如圖，已知⊙O和⊙O′相交于A、B兩點，過點A作⊙O′的切線交⊙O于點C，過點B作兩圓的割線分別交⊙O、⊙O′于E、F，EF與AC相交于點P．
（1）求證：PA•PE=PC•PF；
（2）求證：

PE2

PC2

=

PF

PB

；
（3）當⊙O與⊙O′為等圓時，且PC：CE：EP=3：4：5時，求△PEC與△FAP的面積的比值．

Answer 1

分析：（1）連接AB，根據(jù)弦切角定理和圓周角定理的推論得到∠CAB=∠F，∠CAB=∠E，則∠F=∠E，根據(jù)內(nèi)錯角相等，得到AF∥CE，再根據(jù)平行線分線段成比例定理進行證明；
（2）利用（1）的比例式，兩邊同平方，再根據(jù)切割線定理進行等量代換即可；
（3）要求兩個三角形的面積比，根據(jù)（1）知：兩個三角形相似．所以只需求得它們的一組對應邊的比，根據(jù)所給的線段的比值，結(jié)合勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)Rt△PCE，連接AE，AE即是直徑．又根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PAF=90°，則AF是圓的直徑．根據(jù)勾股定理得到x與y的比值，從而得到三角形的面積比．

解答：（1）證明：連接AB，
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB=∠F．
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠F．
∴AF∥CE．
∴

PE

PF

=

PC

PA

．
∴PA•PE=PC•PF．

（2）證明：∵

PE

PF

=

PC

PA

，
∴

PE2

PF2

=

PC2

PA2

．
∴

PE2

PC2

=

PF2

PA2

．
再根據(jù)切割線定理，得PA²=PB•PF，
∴

PE2

PC2

=

PF

PB

．

（3）解：連接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，
而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5．
設PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，F(xiàn)A=4y，PF=5y，
∴EP²=PC²+CE²，PF²=PA²+FA²．
∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE為⊙O的直徑，AF為⊙O'的直徑．
∵⊙O與⊙O'等圓，
∴AE=AF=4y．
∵AC²+CE²=AE²
∴（3x+3y）²+（4x）²=（4y）²即25x²+18xy-7y²=0，
∴（25x-7y）（x+y）=0，
∴

x

y

=

7

25

．
∴S△ECP：S△FAP=

x2

y2

=

49

625

．

點評：此題綜合運用了切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、切割線定理以及相似三角形的性質(zhì)和判定，難度比較大，綜合性比較強．