Question

我們知道“在三角形每一頂點(diǎn)處各取一個外角,它們的和就是這個三角形的外角和”.如圖7-36,完成下列問題.

圖7-36

(1)你能求出三角形的外角和等于多少嗎?證明你的結(jié)論.

(2)如果將三角形三條邊都向兩邊延長,并在每兩條延長線上任取兩點(diǎn)連結(jié)起來,那么在原三角形外又得到三個新三角形,如圖所示,猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少?

(3)請用(1)的結(jié)論證明(2)的猜想.

(4)對于(2)的證明你還有其他的方法嗎?請寫出來與同伴交流.

Answer 1

 (1)三角形外角和等于360°.

已知：如圖△ABC，∠4，∠5，∠6是外角.

求證：∠4+∠5+∠6=360°.

證明：∵∠4是外角,∴∠2+∠3=∠4.

同理，∠1+∠3=∠5，∠2+∠1=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠2+∠1)=2(∠1+∠2+∠3).

∵∠1+∠2+∠3=180°,

∴∠4+∠5+∠6=2×180°=360°.

(2)如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.

(3)∵∠4是△ABN的外角(已知),

∴∠A+∠B=∠4(三角形任一外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和).

同理，∠C+∠D=∠5，∠E+∠F=∠6,

∴∠4+∠5+∠6=(∠A+∠B)+(∠C+∠D)+(∠E+∠F).

由(1)得∠4+∠5+∠6=360°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°(等量代換).

(4)∵∠A+∠B+∠ANB=180°,∠C+∠D+∠CHD=180°,∠E+∠F+∠EMF=180°,

∴∠A+∠B+∠ANB+∠C+∠D+∠CHD+∠E+∠F+∠EMF=180°×3=540°.

∵∠ANB=∠HNM,∠CHD=∠MHN,∠EMF=∠HMN,∠HNM+∠MHN+∠HMN=180°,

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.