Question

如圖，在⊙C的內(nèi)接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）與點(diǎn)（﹣2，6）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線m與⊙C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)．當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=x²﹣2x   （2）1.8秒

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解析式即可。

（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進(jìn)而求出OD，OF的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出DF的長(zhǎng)。　

解：（1）將點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)（﹣2，6）的坐標(biāo)代入中，得方程組，

，解得。

∴拋物線的解析式為，即y=x²﹣2x。

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，

∵直線m切⊙C于點(diǎn)A，∴AC⊥m。

∵弦AB=AO，∴。∴AC⊥OB。∴m∥OB。

∴∠OAD=∠AOB。

∵OA=4，tan∠AOB=，∴OD=OA•tan∠OAD=4×=3。

則OF=OA•sin∠OAD=4×=2.4。

t秒時(shí)，OP=t，DQ=2t，

若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ﹣FQ=t，

∴△ODF中，（秒）。