Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；
（2）求證：BD=EF+CE．

Answer 1

分析：（1）先證明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE為直角三角形，又CE=1，繼而求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（2）過(guò)E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．

解答：（1）解：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB=

1

2

∠DAB=30°，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°，
∴∠BCE=180°-∠ACB=90°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE=2，BC=

BE2-CE2

=

3

，
∴S△BCE=

1

2

BC•CE=

1

2

×1×

3

=

3

2

；

（2）證明：過(guò)E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，
∵∠DAB=60°，DC∥AB，AD=DC=BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，∠CDB=∠CBD=∠DBA=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDB=∠F=∠EMD=90°，
∴四邊形FDME是矩形，
∴FE=DM，
在△BME和△ECB中

∠EMB=∠ECB ∠MBE=∠BEC BE=BE

，
∴△BME≌△ECB（AAS），
∴BM=CE，
∴BD=DM+BM=EF+CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查梯形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，注意對(duì)這些知識(shí)的熟練掌握以便靈活運(yùn)用．