Question

【題目】如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR＝PS，有下列四個結(jié)論：①點P在∠BAC的平分線上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正確的有__________(填序號即可)．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據(jù)角平分線性質(zhì)即可推出①，根據(jù)勾股定理即可推出AR=AS，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據(jù)平行線判定推出QP∥AB即可；根據(jù)HL推出△BRP≌△CSP即可．

∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC，PR=PS，∴點P在∠A的平分線上，∴①正確；

∵點P在∠A的平分線上，∴∠QAP=∠BAP．

在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．

∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正確；

∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．

∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③正確；

∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．

∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．

∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．

在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④正確．

故選A．