Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣4，0），點B的坐標是（0，b）（b＞0）．P是直線AB上的一個動點，作PC⊥x軸，垂足為C．記點P關于y軸的對稱點為P′（點P′不在y軸上），連接PP′，P′A，P′C．設點P的橫坐標為a．
（1）當b=3時， ①求直線AB的解析式；
②若點P′的坐標是（﹣1，m），求m的值；
（2）若點P在第一象限，記直線AB與P′C的交點為D．當P′D：DC=1：3時，求a的值；
（3）是否同時存在a，b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：①設直線AB的解析式為y=kx+3，

把x=﹣4，y=0代入得：﹣4k+3=0，

∴k= ，

∴直線的解析式是：y= x+3，

②P′（﹣1，m），

∴點P的坐標是（1，m），

∵點P在直線AB上，

∴m= ×1+3=

（2）解：∵PP′∥AC，

△PP′D∽△ACD，

∴ ，即 = ，

∴a=

（3）解：以下分三種情況討論．

①當點P在第一象限時，

(i)若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如圖1）

過點P′作P′H⊥x軸于點H．

∴PP′=CH=AH=P′H= AC．

∴2a= （a+4）

∴a=

∵P′H=PC= AC，△ACP∽△AOB

∴ = ，即 = ，

∴b=2

(ii)若∠P′AC=90°，（如圖2），

則四邊形P′ACP是矩形，則PP′=AC．

若△PCA為等腰直角三角形，則：P′A=CA，

∴2a=a+4

∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴ =1，即 =1

∴b=4

(iii)若∠P′CA=90°，

則點P′，P都在第一象限內，這與條件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C為直角頂點的等腰直角三角形．

②當點P在第二象限時，∠P′CA為鈍角（如圖3），

此時△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③當P在第三象限時，∠P′AC為鈍角（如圖4），此時△P′CA不可能是等腰直角三角形．

所有滿足條件的a，b的值為： ， ．

【解析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；②把（﹣1，m）代入函數(shù)解析式即可求得m的值；（2）可以證明△PP′D∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；（3）分P在第一，二，三象限，三種情況進行討論．利用相似三角形的性質即可求解．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和確定一次函數(shù)的表達式是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法．