Question

【題目】如圖，拋物線y1=x2﹣1交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將此拋物線向右平移4個(gè)單位得拋物線y2 ， 兩條拋物線相交于點(diǎn)C．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y2的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠CPA=∠OBA，求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在第四象限內(nèi)拋物線y2上，是否存在點(diǎn)Q，使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y1=x2﹣1向右平移4個(gè)單位的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣1），

所以，拋物線y2的解析式為y2=（x﹣4）2﹣1

（2）

解：x=0時(shí)，y=﹣1，

y=0時(shí)，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，

所以，點(diǎn)A（1，0），B（0，﹣1），

∴∠OBA=45°，

聯(lián)立 ，

解得 ，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3），

∵∠CPA=∠OBA，

∴點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時(shí)，坐標(biāo)為（﹣1，0），

在點(diǎn)A的右邊時(shí)，坐標(biāo)為（5，0），

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）

（3）

解：存在．

∵點(diǎn)C（2，3），

∴直線OC的解析式為y= x，

設(shè)與OC平行的直線y= x+b，

聯(lián)立 ，

消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，

當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，

此時(shí)x1=x2= ×（﹣ ）= ，

此時(shí)y=（ ﹣4）2﹣1=﹣ ，

∴存在第四象限的點(diǎn)Q（ ，﹣ ），使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值，

此時(shí)△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，

解得b=﹣ ，

∴過(guò)點(diǎn)Q與OC平行的直線解析式為y= x﹣ ，

令y=0，則 x﹣ =0，解得x= ，

設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，則E（ ，0），

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，根據(jù)勾股定理，OC= = ，

則sin∠COD= = ，

解得h最大= × = ．

【解析】（1）寫(xiě)出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出即可；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出∠OBA=45°，再聯(lián)立兩拋物線解析式求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)∠CPA=∠OBA分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊和右邊兩種情況求解；（3）先求出直線OC的解析式為y= x，設(shè)與OC平行的直線y= x+b，與拋物線y2聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)與OC的距離最大時(shí)方程有且只有一個(gè)根，然后利用根的判別式△=0列式求出b的值，從而得到直線的解析式，再求出與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，得到OE的長(zhǎng)度，再過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，然后根據(jù)∠COD的正弦值求解即可得到h的值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�