Question

已知梯形AOCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C點的坐標(biāo)為C（5，0），tan∠DCO=

4

3

（1）求D點的坐標(biāo)及過C、D、O三點的拋物線解析式；
（2）動點P在線段OA上自O(shè)點出發(fā)向A點運動，速度為每秒1個單位，同時動點Q自A點出發(fā)以相同的速度，沿折線A-D-C運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時另一點也立即停止運動．設(shè)△APQ的面積為S，求S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．
（3）當(dāng)（2）中的S取最大值時，過Q作QE⊥x軸于E，此時，拋物線上是否存在點M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠DCO=

4

3

，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．
（2）根據(jù)0＜x≤2 時，以及2＜x≤4時，分別得出即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)最值以及三角形面積求法得出即可．

解答：解：（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C點的坐標(biāo)為C（5，0），
tan∠DCO=

4

3

，
∴

DE

EC

=

4

3

，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
將O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：

c=0 4a+2b+c=4 25a+5b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=0

．
∴y=-

2

3

x²+

10

3

x；

（2）0＜x≤2 時，
S=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t，
2＜x≤4時，
S=-

3

10

（ t-

4

3

）²+

32

15

=-

3

10

t²+

4

5

t+

8

5

；

（3）∵t=2時，S_最大=2，
當(dāng)S_△OPM=S_△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M₁（4，

8

3

），
同理可得 M₂（

4

3

，

88

27

）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和三角形面積求法等知識，在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．