Question

如圖，兩塊相同的三角形完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一塊繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，點(diǎn)C′在AC上，A′C′與AB相交于點(diǎn)D，求C′D的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BC=

1

2

AC，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠C=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=BC′，然后求出△BCC′是等邊三角形并得到點(diǎn)C′是AC的中點(diǎn)，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得A′C′∥BC，從而得到C′D是△ABC的中位線，最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半解答即可．

解答：解：∵∠A=30°，
∴BC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∠C=90°-30°=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，BC=BC′，
∴△BCC′是等邊三角形，
∴CC′=BC，∠CBC′=60°，
∴點(diǎn)C′是AC的中點(diǎn)，
又∵∠CBC′=∠A′C′B=60°，
∴A′C′∥BC，
∴C′D是△ABC的中位線，
∴C′D=

1

2

BC=

1

2

×5=2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．