Question

【題目】已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊AB上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合）, 動(dòng)點(diǎn)F在射線AC上，連結(jié)DE, DF.

(1)如圖1，當(dāng)∠DEB=∠DFC=90°時(shí)，直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖2，當(dāng)∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)時(shí)，猜想DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)當(dāng)點(diǎn)E,D,F在同一條直線上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖3；

②在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在EB=FC？ （ 填“存在”或“不存在” ）.

Answer 1

【答案】（1）DE=DF；（2）DE=DF；證明見(jiàn)解析；（3）①見(jiàn)解析，②不存在

【解析】

（1）證明△BED≌△CFD，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；

（2）連接AD，作DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等，得出∠GED=∠DFC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DG=DH，即可證明△EGD≌△FHD，從而得出結(jié)論；

（3）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②假設(shè)BE=CF．過(guò)E作EG∥AC交BC于G．證明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，進(jìn)而得到G與B重合．由BE與AC相交于點(diǎn)A，與EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，從而得到結(jié)論．

（1）DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DE=DF．理由如下：

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD．

在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

（2）猜想：DE與DF的數(shù)量關(guān)系是DE=DF．理由如下：

連接AD，作DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，

∴∠EGD=∠FHD=90°．

∵∠DEB+∠GED=180°，

∠DEB+∠DFC=180°，

∴∠GED=∠DFC．

∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAD=∠CAD．

∵DG⊥AB，DH⊥AC，

∴DG=DH．

在△EGD和△FHD中，

∵，

∴△EGD≌△FHD，

∴DE=DF．

（3）①作圖如下：

②不存在．理由如下：

假設(shè)BE=CF．過(guò)E作EG∥AC交BC于G．

∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EGB，

∴BE=EG．

∵BE=CF，

∴EG=CF．

在△EGD和△FCD中，

∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，

∴△EGD≌△FCD，

∴GD=CD．

∵BD=CD，

∴BD=GD，

∴G與B重合．

∵BE與AC相交于點(diǎn)A，與EG∥AC矛盾，

∴BE=CF不成立，

∴在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，不存在EB=FC．