Question

在平面直角坐標系xOy中，已知反比例函數(shù)y=

2k

x

(k≠0)滿足：當x＜0時，y隨x的增大而減小．若該反比例函數(shù)的圖象與直線y=-x+

3

k都經(jīng)過點P，且|OP|=

7

，則實數(shù)k=

無解

．

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標為（a，b），由P為兩函數(shù)的交點，將P坐標代入反比例與直線解析式中，得到ab與a+b，再利用勾股定理表示出|OP|，代入|OP|=

7

中，利用完全平方公式變形，把表示出的ab與a+b代入，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：設(shè)P坐標為（a，b），代入反比例解析式得：ab=2k；代入直線解析式得：a+b=

3

k，
∵|OP|=

7

，即a²+b²=7，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=3k²-4k=7，△=16+84=100＞0，
分解因式得：（3k-7）（k+1）=0，
可得3k-7=0或k+1=0，
解得：k=

7

3

或k=-1（不合題意，舍去）．
聯(lián)立方程所得到的一元二次方程有解需滿足△≥0，從而得到k≥

8

3

或k＜0（舍），
所以求出的k=

7

3

不合題意，
則實數(shù)k無解．
故答案為：無解．

點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：勾股定理，完全平方公式的運用，以及解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．