Question

已知點(diǎn)E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，EA=ED，線段BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)F，
（1）如圖1，當(dāng)BF=EF時(shí)，線段AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明；
（2）如圖2，當(dāng)△EAD為等邊三角形時(shí)，寫出線段AF、BF、EF之間的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）要求AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，而題目涉及在正方形中，連接正方形的對(duì)角線是常用的方法，連接對(duì)角線BD是關(guān)鍵，得到四邊形ODEA是正方形，利用三角形中位線的性質(zhì)得到結(jié)論．
（2）這個(gè)關(guān)系要用第一問(wèn)類似的方法得出，輔助線不可少，制造全等三角形是難點(diǎn)．

解答：解：（1）AF=

1

2

DE，
證明如下：連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BO=DO，
∵BF=EF，
∴OF=

1

2

DE，OF∥DE．
∵BD⊥AC，
∴∠EDO=∠AOB=90°，

∵∠ODA=∠OAD=

1

2

×90°=45°，EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠OAD=∠AED=∠AOD=90°，
∴四邊形AODE是正方形．
∴OA=DE，
∴OF=

1

2

AO，
∴AF=

1

2

AO=

1

2

DE．

（2）AF+BF=EF、AF²+EF²=2BF²等（只要其中一個(gè)），
AF+BF=EF的證明方法一：
連接BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，連接DG．
與第（1）同理可證∠GDA=45°，
∵四邊形ABCD是正方形，△ADE是等邊三角形，
∴∠GDE=60°-45°=15°．
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB=

180°-150°

2

=15°，
∴∠ABF=∠GDE．
又∵∠DEG=∠DEA-∠AEB=60°-15°=45°=∠BAC，DE=AD=AB，

∴△ABF≌△EDG
∴EG=AF，
∴AF+BF=EG+FG=EF．
AF+BF=EF的證明方法二（簡(jiǎn)略）：
在FE上截取FG=AF，連接AG．證得△AFG為等邊三角形．
證得△ABF≌△AEG．
證得AF+BF=EF．
AF²+EF²=2BF²的證明方法（簡(jiǎn)略）：
作BG⊥BF，且使BG=BF，連接CG、FG，證得△BGC≌△BFA．
證得FC=FE，F(xiàn)G=

2

BF，
利用Rt△FCG中，得出AF²+EF²=2BF²．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道考查正方形性質(zhì)的幾何題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的運(yùn)用，全等三角形的運(yùn)用，第二問(wèn)的輔助線在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行．