Question

【題目】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明利用“同弧所對的圓周角及圓心角的性質(zhì)”探索了一些問題，下面請你和小明一起進(jìn)入探索之旅．

問題情境：

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，則△ABC的外接圓的半徑為　 　．

操作實(shí)踐：

（2）如圖2，在矩形ABCD中，請利用以上操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，在矩形ABCD內(nèi)部用直尺與圓規(guī)作出一點(diǎn)P．點(diǎn)P滿足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．（要求：用直尺與圓規(guī)作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡．）

遷移應(yīng)用：

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B，坐標(biāo)為（2，m）．過點(diǎn)B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A、B重合），發(fā)現(xiàn)使得∠OPC=45°的位置有兩個(gè)，則m的取值范圍為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）作圖見解析；（3）2≤m＜1+

【解析】試題分析：（1）連接OB、OC，只要證明△OBC是等邊三角形即可．

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．當(dāng)EK=KC=時(shí)，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時(shí)m=BC=1+，在AB上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=∠OKC=45°，當(dāng)BK=時(shí)，在AB上恰好有兩個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時(shí)m=BC=2，由此不難得出結(jié)論．

解：（1）如圖1中，連接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=OC=BC=2，

故答案為：2；

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O；

以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點(diǎn)P，

則點(diǎn)P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，

∴OK=KC=，

當(dāng)EK=KC=時(shí)，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時(shí)m=BC=1+，在AB上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=∠OKC=45°，

當(dāng)BK=時(shí)，在AB上恰好有兩個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時(shí)m=BC=2，

綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+．

故答案為2≤m＜1+．