Question

【題目】教材呈現(xiàn)：下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.

猜想：

如圖，在中，點(diǎn)分別是與的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

，且.

對(duì)此，我們可以用演繹推理給出證明.

證明：在中，

∵點(diǎn)分別是與的中點(diǎn)，

∴.

請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

結(jié)論應(yīng)用：

如圖②在四邊形中，，點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，，，則_______________.

Answer 1

【答案】猜想：證明過程見解析；結(jié)論應(yīng)用：（1）見解析；（2）.

【解析】

猜想：利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等可證，再利用相似三角形的性質(zhì)即可證得猜想；

結(jié)論應(yīng)用：（1）根據(jù)猜想的結(jié)論可得：，，進(jìn)而可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)P作PF⊥MN于點(diǎn)F，如圖②，由（1）得：PN∥AD，PM∥BC，然后利用平行線的性質(zhì)即可求出∠MPN，再由（1）的結(jié)論可得∠2的度數(shù)，因?yàn)?/span>，而BC=4，所以MP=2，因?yàn)?/span>∠PQF=∠1+∠2，所以∠PQF可得，然后在直角△PQF中利用30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

教材呈現(xiàn)：

證明：在中，∵點(diǎn)分別是與的中點(diǎn)，

∴，

∵，∴，

∴，，

∴，.

結(jié)論應(yīng)用：

（1）證明：∵分別為的中點(diǎn)，∴，

∵分別為的中點(diǎn)，∴，

∵，∴，

∴；

（2）解：過點(diǎn)P作PF⊥MN于點(diǎn)F，如圖②，

由（1）得：PN∥AD，PM∥BC，

∴∠NPB=∠ADB=90°=∠NPD，∠1=∠DBC=30°，∴∠MPN=30°+90°=120°，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∴PF=，

∵∠PQF=∠1+∠2=60°，∴∠QPF=30°，

∴，

∴.

故答案為：.