Question

在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（-1，0）．

（1）請直接寫出點B、C的坐標：B______、C______；并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經(jīng)過點C．此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于點M．
①設(shè)AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC；
②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點A（-1，0），
∴OA=1，
由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1×=，
OB=OC•cot30°=×=3，
所以，點B（3，0），C（0，），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+x+；

（2）①∵△OCE∽△OBC，
∴=，
即=，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2時，△OCE∽△OBC；

②存在．理由如下：
拋物線的對稱軸為x=-=-=1，
所以，點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點，
∵OA=OE，OC⊥x軸，∠BAC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A（-1，0），C（0，）可得直線AC的解析式為y=x+，
∵點E（1，0），
∴直線EF的解析式為y=x-，
聯(lián)立，
解得，（舍去），
∴點M的坐標為（2，），
EM==2，
分三種情況討論△PEM是等腰三角形，
當PE=EM時，PE=2，
所以，點P的坐標為（1，2）或（1，-2），
當PE=PM時，∵∠FEB=60°，
∴∠PEF=90°-60°=30°，
PE=EM÷cos30°=×2÷=，
所以，點P的坐標為（1，），
當PM=EM時，PE=2EM•cos30°=2×2×=2，
所以，點P的坐標為（1，2），
綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，2），使△PEM是等腰三角形．
分析：（1）利用解直角三角形求出OC的長度，再求出OB的長度，從而可得點B、C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）①根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OE的長度，再根據(jù)點A的坐標求出AO的長度，相加即可得到AE的長度，即x的值；
②根據(jù)①確定點E在對稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據(jù)同位角相等兩直線平行求出EF∥AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求出點M的坐標，再利用兩點間的距離公式求出EM的長度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要涉及直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，（2）②要根據(jù)等腰三角形腰的不同進行分情況討論，根據(jù)題目圖形，點M在x軸下方的情況可以舍去不予考慮．