Question

【題目】如圖，拋物線的與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若是線段上一動點(diǎn)，過作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)時，的面積為．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；若有最大值，請求出的最大值，若沒有，請說明理由；

（3）若是軸上一個動點(diǎn)，過作射線交拋物線于點(diǎn)，隨著點(diǎn)的運(yùn)動，在軸上是否存在這樣的點(diǎn)，使以 、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），當(dāng)時，有最大值，最大值是；（3）存在，點(diǎn)為，，

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，由，則點(diǎn)H、N的橫坐標(biāo)都可以用含t的代數(shù)式表示，由即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值；

（3）設(shè)，分兩種情況：①如圖2，當(dāng)在軸下方時，作軸于，由平行四邊形的性質(zhì)可證得，從而可得，由此可得關(guān)于x的方程，解方程即可求x的值，進(jìn)而可得點(diǎn)P坐標(biāo)；②如圖3，當(dāng)在軸上方時，作軸于，同①的方法解答即可．

解（1）將，代入，

得，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為：；

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）由，得x=3或x=﹣1，則點(diǎn)，

如圖1，連接、、，設(shè)直線解析式為，代入，，得：

，解得：，

∴直線的解析式為；

∵，∴，，

∴，

則當(dāng)時，有最大值，最大值是；

（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為，，；

理由如下：設(shè)，

①如圖2，當(dāng)在軸下方時，作軸于，

∵

∴當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，

∴，

解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），

∴；

②如圖3，當(dāng)在軸上方時，作軸于，

∵

∴當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，

∴，

∴，

∴，

解得：或，

∴，；

綜上所述，點(diǎn)為，，．