Question

21、如圖1，△ABD和△AEC均為等邊三角形，連接BE、CD．

（1）請判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是

BE=CD

；
（2）觀察圖2，當(dāng)△ABD和△AEC分別繞點A旋轉(zhuǎn)時，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會改變？

（3）觀察圖3和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形，猜想類似的結(jié)論是

AE=CG

，在圖4中證明你的猜想；
．

（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明），如圖5，BB₁與EE₁的關(guān)系是

BB₁=EE₁

；它們分別在哪兩個全等三角形中

△AE₁E和△AB₁B中

；請在圖6中標(biāo)出較小的正六邊形AB₁C₁D₁E₁F₁的另五個頂點，連接圖中哪兩個頂點，能構(gòu)造出兩個全等三角形？

Answer 1

分析：本題是變式拓展題，圖形由簡單到復(fù)雜，需要從簡單圖形中探討解題方法，并借鑒用到復(fù)雜圖形中；證明三角形全等時，用旋轉(zhuǎn)變換尋找三角形全等的條件．

解答：解：（1）線段BE與CD的大小關(guān)系是BE=CD；

（2）線段BE與CD的大小關(guān)系不會改變；

（3）AE=CG．
證明：如圖4，正方形ABCD與正方形DEFG中，
∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．

（4）這些結(jié)論可以推廣到任意正多邊形．
如圖5，BB₁=EE₁，它們分別在△AE₁E和△AB₁B中，
如圖6，連接FF₁，可證△AB₁B≌△AF₁F．

點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和多邊形的有關(guān)知識．注意對三角形全等的證明方法的發(fā)散．