Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點E，與CD相交于點F．H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若過點G作GM∥BC，交DC于點M，其他條件不變，求證：DF=CM；
（3）若把題目中“BE平分∠ABC”改為“BE平分線段DC”，其他條件不變，連接HF．求證：HF=AD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE=∠CBE，根據(jù)等角的余角相等求出∠A=∠BCA，再根據(jù)等角對等邊可得AB=BC，從而得證；
（2）過點F作FN⊥BC于N，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得FD=FN，根據(jù)等角的余角相等求出∠2=∠3，然后根據(jù)等角對等邊可得DG=DF，從而得到DF=FN，再判斷出△BDC是等腰直角三角形，再求出∠GDM=∠NFC=45°，然后利用“角邊角”證明△DGM和△FNC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DM=FC，再求出DF=CM即可；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得HF=DF，再利用“角角邊”證明△ACD和△BFD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=DF，從而得證．

解答：（1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）證明：如圖，過點F作FN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，
∴FD=FN，
∵∠ABE+∠3=90°，∠CBE+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DG=DF，
∴DF=DF=FN，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵DH⊥BC，
∴∠GDM=∠NFC=45°，
在△DGM和△FNC中，

∠GDM=∠NFC DG=FN ∠DGM=∠FNC

，
∴△DGM≌△FNC（ASA），
∴DM=FC，
∴DM-FM=FC-FM，
即DF=CM；

（3）證明：如圖，連接FH，∵DH⊥BC，BE平分線段CD，
∴HF=DF=

1

2

CD，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴∠DBF+∠A=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF=∠ACD BD=CD ∠BDF=∠ADC=90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴AD=DF，
∴HF=AD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．