Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)．求證CF+CD=BC；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變；

①請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線段之間的關(guān)系；

②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC．求OC的長(zhǎng)度．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°�！郃B=AC。

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）�！郆D=CF。

∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC。

（2）CF﹣CD=BC。

（3）①CD﹣CF=BC。

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°�！郃B=AC。

∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）�！唷螦CF=∠ABD。

∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°�！唷螦CF=∠ABD=135°�！唷螰CD=90°。

∴△FCD是直角三角形。

∵正方形ADEF的邊長(zhǎng)為且對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O，

∴DF=AD=4，O為DF中點(diǎn)。

∴OC=DF=2。

【解析】

試題分析：（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得。

（2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC。

（3）①同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CD﹣CF=BC。

②證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長(zhǎng)，則OC即可求得�！�