Question

設點P是△ABC內(nèi)任意一點．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①過點P至少存在一條直線將△ABC分成周長相等的兩部分；
②過點P至少存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
③過點P至多存在一條直線將△ABC分成面積相等的兩部分；
④△ABC內(nèi)存在點Q，過點Q有兩條直線將其平分成面積相等的四個部分．
其中結(jié)論正確的是　 　．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

①②④

試題分析：結(jié)論①正確。理由如下：
如答圖1所示，設點P為△ABC內(nèi)部的任意一點，經(jīng)過點P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的周長分別為C₁，C₂（C₁，C₂中不含線段DE），
在直線l繞點P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，周長由C₁＜C₂（或C₁＞C₂）的情形，逐漸變?yōu)镃₁＞C₂（或C₁＜C₂）的情形，在此過程中，一定存在C₁=C₂的時刻，因此經(jīng)過點P至少存在一條直線平分△ABC的周長。故結(jié)論①正確。
結(jié)論②正確。理由如下：
如答圖1所示，

設點P為△ABC內(nèi)部的任意一點，經(jīng)過點P的直線l將△ABC分割后，兩側(cè)圖形的面積分別為S₁，S₂，
在直線l繞點P連續(xù)的旋轉(zhuǎn)過程中，面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變?yōu)镾₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形，在此過程中，一定存在S₁=S₂的時刻，因此經(jīng)過點P至少存在一條直線平分△ABC的面積。故結(jié)論②正確。
結(jié)論③錯誤。理由如下：
如答圖2所示，

AD、BE、CF為三邊的中線，則AD、BE、CF分別平分△ABC的面積，而三條中線交于重心G，則經(jīng)過重心G至少有三條直線可以平分△ABC的面積。故結(jié)論③錯誤。
結(jié)論④正確。理由如下：
如答圖3所示，

AD為△ABC的中線，點M、N分別在邊AB、AC上，MN∥BC，且，MN與AD交于點Q。
∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC。
∴，即MN平分△ABC的面積。
又∵AD為中線，
∴過點Q的兩條直線AD、MN將△ABC的面積四等分。故結(jié)論④正確。
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④�！�