Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜8），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．

（1）求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，連接E'A、E'B，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)Q，使△AOE′～△BOQ，并求出Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+x+6；（2）m＝4；（3）Q1（，），Q2（﹣，）．

【解析】

（1）把點(diǎn)A（8，0）代入拋物線解析式求解即得；

（2）易求得直線AB解析式為y＝x+6，再證明△ANE∽△PNM，由相似三角形的性質(zhì)得，由E（m，0）（0＜m＜8）可得P（m，），N（m，m+6），然后用m的代數(shù)式表示出AN和PN，解方程即可；

（3）由題意可求得OQ的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于H，然后利用∠BOQ＝∠AOE′＝30°，可求得QH和OH的長(zhǎng)，進(jìn)一步即得結(jié)果.

解：（1）把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，解得a＝，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+x+6；

（2）如圖1，在y＝x2+x+6中，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6），

設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，

∴直線AB解析式為y＝x+6

∵PE⊥x軸，PM⊥AB

∴∠AEN＝∠PMN＝90°，

∵∠ANE＝∠PNM，∴△ANE∽△PNM.

∴，，

∵S1：S2＝36：25，

∴，

∴6AN＝5PN

∵E（m，0）（0＜m＜8），∴OE＝m，AE＝8﹣m，

∴P（m，），N（m，m+6），

∴EN＝m+6，PN＝PE﹣EN＝﹣（m+6）＝+3m，

∵AB＝＝10

∴cos∠OAB＝，即，

∴AN＝（8﹣m），

∴6×（8﹣m）＝5×（+3m），解得：m1＝4，m2＝8（不符合題意，舍去），

∴m＝4；

（3）如圖2，∵線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，

∴OE′＝OE＝4，∠AOE′＝30°

∵△AOE′∽△BOQ，

∴，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，

∴，即OQ＝3，

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于H，

∴QH＝OQ＝，OH＝，

∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí)，Q1（，），

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，Q2（﹣，）．

綜上所述，Q的坐標(biāo)為：Q1（，），Q2（﹣，）．