Question

在△ABC中，P是BC邊上的一個動點，以AP為直徑的⊙O分別交AB、AC于點E和點F．
（1）若∠BAC=45°，EF=4，則AP的長為多少？
（2）在（1）條件下，求陰影部分面積．
（3）試探究：當(dāng)點P在何處時，EF最短？請直接寫出你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

（1）連接OE、OF．
∵∠EOF=2∠EAF，∠EAF=45°，
∴∠EOF=90°；
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴OE=EF=2，
∴直徑AP=2OE=4；

（2）S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF=-×2×2=2π-4；

（3）在三角形OEP中，根據(jù)垂徑定理和勾股定理知，當(dāng)OP取最小值時，EF的值最��；又根據(jù)點到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當(dāng)AP⊥BC時，AP最短．
所以當(dāng)AP⊥BC時，EF最短．
分析：（1）連接OE、OF構(gòu)建等腰直角三角形OEF，然后利用勾股定理求得AP的長度；
（2）利用扇形的面積公式和三角形的面積公式分別求得S_扇形EOF、S_△EOF的值；然后根據(jù)圖形的特點知：S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF；
（3）由垂徑定理知，當(dāng)AP最短時，EF則取最小值；又根據(jù)點到直線的距離垂線段最短垂線段最短知當(dāng)AP⊥BC時，AP最短．
點評：考查了同學(xué)們綜合利用垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．