Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD=4cm，BC=2cm，AB=3cm．從初始時(shí)刻開始，動(dòng)點(diǎn)P、Q 分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，動(dòng)點(diǎn)P沿A→B→C→E的方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)E停止；動(dòng)點(diǎn)Q沿B→C→E→D的方向運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△PAQ的面積為y cm²．（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形）解答下列問題：
（1）當(dāng)x=2s時(shí)，y=

2

cm²；當(dāng)x=

5

2

s時(shí)，y=

2.5

cm²；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，即3≤x≤5時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y=2.5時(shí)x的值；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)，即5＜x≤8 時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，使PQ與四邊形ABCE的對(duì)角線平行的所有x的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=2s時(shí)，AP=2，BQ=2，利用三角形的面積公式直接可以求出y的值，當(dāng)x=

5

2

s時(shí)，△PAQ的高就是2，底為2.5，由三角形的面積公式可以求出其解．
（2）當(dāng)3≤x≤5時(shí)，利用y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△CPQ，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，以及求出y=2.5時(shí)x的值；
（3）分別利用當(dāng)5＜x≤7時(shí)，以及當(dāng)7＜x≤8時(shí)，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例就可以求出對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=2s時(shí)，AP=2，BQ=2，
∴y=

1

2

×2×2=2（cm²），
當(dāng)x=

5

2

s時(shí)，△PAQ的高就是2，底為2.5，
y=

1

2

×2×2.5=2.5（cm²），

（2）如圖1，當(dāng)3≤x≤5時(shí)，
y=S_梯形ABCQ-S_△ABP-S_△CPQ
=

1

2

×[3+(x-2)]×2-

1

2

×3(x-3)-

1

2

(5-x)(x-2)
=

1

2

x2-4x+

21

2

．
當(dāng)y=2.5時(shí)，

1

2

x2-4x+

21

2

=2.5，
（x-4）²=0
解得：x₁=x₂=4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=2.5．

（3）如圖2，當(dāng)5＜x≤7時(shí)，
y=

1

2

PE×AQ=

1

2

（2+x-5）（8-x）=-

1

2

x²+

11

2

x-12；
如圖3，當(dāng)7＜x≤8時(shí)，
y=

1

2

×AD×PE=

1

2

×4×（8-x）=16-2x；

（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
如圖4，當(dāng)PQ∥AC時(shí)，BP=3-x，BQ=x，
此時(shí)△BPQ∽△BAC，
故

BP

AB

=

BQ

BC

，即

3-x

3

=

x

2

，
解得：x=1.2；
如圖5，當(dāng)PQ∥BE時(shí)，PC=5-x，QC=x-2，
此時(shí)△PCQ∽△BCE，
故

PC

BC

=

CQ

CE

，即

5-x

2

=

x-2

3

，
解得x=3.8；
如圖6，當(dāng)PQ∥BE時(shí)，EP=8-x，EQ=x-5，
此時(shí)△PEQ∽△BAE，
故

EP

AB

=

EQ

AE

，即

8-x

3

=

x-5

2

，
解得x=6.2．
綜上所述：x的值為：1.2，3.8，6.2．
故答案為：2，2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用函數(shù)關(guān)系式表示變化過程中三角形的面積和相似三角形的判定及性質(zhì)以及梯形的面積等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．