Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，交y軸的負半軸于點D，開口向下的拋物線經(jīng)過點A，B，且其頂點P在⊙C上．
（1）求∠ADB的大��；
（2）請直接寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）若點M是y軸上一點，以點M，A，C為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一頂點N在第（3）題的拋物線上，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）過點C作CE⊥x軸于點E，根據(jù)點C的坐標以及圓的半徑為2，解直角三角形求出∠ACE=60°，從而得到∠ACB=120°，再根據(jù)同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠APB的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求解即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AE=BE=

3

，然后求出OA、OB的長度，寫出點A、B的坐標即可；
（3）根據(jù)圓與拋物線的對稱性寫出頂點P的坐標為（1，3），再設(shè)出拋物線的頂點式解析式為y=a（x-1）²+3，把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；
（4）設(shè)點M的坐標為（0，m），再分①AC是平行四邊形的邊時，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等表示出點N的坐標，然后根據(jù)點N在拋物線上，代入拋物線解析式計算即可得解，②AC是對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分先表示出平行四邊形的中心坐標，再表示出點N的坐標，然后根據(jù)點N在拋物線上，代入拋物線解析式計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，
∵點C（1，1），⊙C的半徑為2，
∴cos∠ACE=

CE

AC

=

1

2

，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACB=2∠ACE=2×60°=120°，
根據(jù)圓周角定理可得∠APB=

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
所以，∠ADB=180°-∠APB=180°-60°=120°；

（2）在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，AE=

AC2-CE2

=

22-12

=

3

，
根據(jù)對稱性，BE=AE=

3

，
所以，OA=

3

-1，OB=

3

+1，
所以，點A（1-

3

，0），B（

3

+1，0）；

（3）∵拋物線的頂點P在⊙C上，圓的半徑為2，圓心C的坐標（1，1），
∴頂點P的坐標為（1，3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，
則a（

3

+1-1）²+3=0，
解得a=-1，
所以，拋物線解析式為y=-（x-1）²+3；

（4）∵點M在y軸上，
∴設(shè)點M的坐標為（0，m），

①AC是平行四邊形的邊時，如圖1，點N在x軸下方是，坐標為（-

3

，m-1），
∵點N在拋物線上，
∴-（-

3

-1）²+3=m-1，
解得m=-2

3

，
所以，點M的坐標為（0，-2

3

），
點N在x軸上方時，坐標為（

3

，m+1），
∵點N在拋物線上，
∴-（

3

-1）²+3=m+1，
解得m=2

3

-2，
所以，點M的坐標為（0，2

3

-2）；
②AC是對角線時，∵點A（1-

3

，0），C（1，1），
∴平行四邊形的中心坐標為（1-

3

2

，

1

2

），
∴點N的橫坐標為2（1-

3

2

）=2-

3

，
縱坐標為

1

2

×2-m=1-m，
所以，N（2-

3

，1-m），
∵點N在拋物線上，
∴-（2-

3

-1）²+3=1-m，
解得m=2-2

3

，
所以，點M的坐標為（0，2-2

3

），
綜上所述，點M的坐標為（0，-2

3

）或（0，2

3

-2）或（0，2-2

3

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及解直角三角形，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的對角互補，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，（3）用拋物線的頂點式解析式比較簡單，（4）要注意分AC是平行四邊形的邊與對角線兩種情況討論求解，用點M的坐標表示出點N的坐標是解題的關(guān)鍵．