Question

（2012•閘北區(qū)二模）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，cosB=

4

5

，點G是△ABC的重心．動點E從點A出發(fā)沿著射線AG以每秒1cm的速度移動，動點F從點C出發(fā)沿著射線CA以每秒2cm的速度移動，點E和點F同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為t（秒）．
（1）求點A到點G的距離；
（2）在移動過程中，是否存在以點G為圓心GE長為半徑的圓與以點C為圓心CF長為半徑的圓外切？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
（3）連接EF，在運動過程中，是否存在△AEF是等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AG并延長，交邊BC于點H．根據(jù)G是重心得到AH平分邊BC，再根據(jù)AB=AC得到AH⊥BC，然后解直角三角形ABH即可求解；
（2）由（1）得：GH=2，HC=BH=8，根據(jù)兩圓相外切兩圓的圓心距等于兩圓半徑的和列出有關(guān)t的方程求得t的值即可；
（3）分當(dāng)點F在邊AC上時和當(dāng)點F在CA的延長線上時兩種情況利用等腰三角形的性質(zhì)列出有關(guān)t的方程求得t的值即可求解．

解答：解：（1）連接AG并延長，交邊BC于點H．
∵G是重心，
∴AH平分邊BC，AG=

2

3

AH，
∵AB=AC
∴AH⊥BC．      
在Rt△ABH中，cosB=

BH

AB

，
即

BH

10

=

4

5

，
∴BH=8，
∴AH=6，
∴AG=4．       

（2）由（1）得：GH=2，HC=BH=8．
根據(jù)題意得：EG=|4-t|，CF=2t
∴r_G=|4-t|，r_C=2t
且圓心距CG=

22+82

=

68

=2

17

．
當(dāng)圓G與圓C外切時：r_G+r_C=CG，
∴|4-t|+2t=2

17

，…（3分）
即：4-t+2t=2

17

（t＜4）或t-4+2t=2

17

（t＞4）
∴t₁=2

17

-4（舍），t₂=

2 17 +4

3

即當(dāng)t=

2 17 +4

3

時兩圓外切．           

（3）•當(dāng)點F在邊AC上時：
①如圖1，當(dāng)AE=AF時，t=10-2t，∴t₁=

10

3

．…（1分）
②如圖2，當(dāng)AF=EF時，過F作MF⊥AH于點M，
由MF∥HC，∴

AM

AF

=

AH

AC

，∴

1 2 t

10-2t

=

3

5

，
∴t₂=

60

17

．…（1分）
③如圖3，當(dāng)AE=EF時：過點E作EM⊥AC于點M，
易證△AEM∽△ACH，∴AM：AE=AH：AC，
∴

1

2

（10-2t）：t=3：5，∴t₃=

25

8

．…（1分）
•當(dāng)點F在CA的延長線上時：
④如圖4，只有AE=AF時，△AEF為等腰三角形，
∴t=2t-10，
∴t₄=10．…（1分）
綜上所述，當(dāng)t=

10

3

、

25

8

、

60

17

、10的時候，△AEF是等腰三角形．

點評：本題考查了相似形的綜合知識，特別是第（3）題中利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，這也是中考中常常考查的重點知識之一．