Question

如圖，直線y=ax+b與雙曲線y=

k

x

交于點A、B，與x軸交于點C，AD⊥x軸于點D，且cos∠AOC=

10

10

，AD=6，S_△ABD=2S_△AOD．
（1）求雙曲線與直線的解析式；
（2）連接OB，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOD中，由cos∠AOC的值，利用銳角三角函數(shù)定義，設(shè)OD=m，則有OA=

10

m，再由AD的長，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，過B作BE垂直于AD，設(shè)B橫坐標(biāo)為n，由OD的長為2，用n-2表示出BE，進(jìn)而由AD為底，BE為高，表示出△ABD的面積，再求出△AOD的面積，根據(jù)△ABD的面積等于2△AOD的面積列出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，即為B的橫坐標(biāo)，將B的橫坐標(biāo)代入反比例解析式中求出B的縱坐標(biāo)，確定出B的坐標(biāo)，將A和B兩點坐標(biāo)代入直線y=ax+b中，得到關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）連接OB，過B作BF垂直于x軸，由A和B的坐標(biāo)求出AD、OD、BF、OF的長，由△AOB的面積=△AOD的面積+梯形ABFD的面積-△OBF的面積，求出即可．

解答：解：（1）在Rt△AOD中，cos∠AOC=

10

10

，
設(shè)OD=m，則OA=

10

m，又AD=6，
根據(jù)勾股定理得：OA²=OD²+AD²，即（

10

m）²=m²+6²，
解得：m=2，
∴A（2，6），
將A的坐標(biāo)代入反比例解析式得：6=

k

2

，
解得：k=12，
則反比例解析式為y=

12

x

；
過B作BE⊥AD，交AD于點E，
設(shè)B的橫坐標(biāo)為n，則BE=n-2，
∴S_△ABD=

1

2

×6×（n-2），S_△AOD=

1

2

×2×6=6，且S_△ABD=2S_△AOD，
∴

1

2

×6×（n-2）=12，
解得：n=6，
將x=6代入反比例解析式得：y=2，
∴B坐標(biāo)為（6，2），
將A和B坐標(biāo)代入y=ax+b得：

2a+b=6 6a+b=2

，
解得：

a=-1 b=8

，
則直線AB解析式為y=-x+8；

（2）過B作BF⊥y軸，交y軸于點F，
∵A（2，6），B（6，2），
∴AD=6，OD=2，BF=2，OF=6，DF=OF-OD=6-2=4，
則S_△AOB=S_△AOD+S_梯形ABFD-S_△BOF
=

1

2

AD•OD+

1

2

（BF+AD）•DF-

1

2

BF•OF
=

1

2

×2×6+

1

2

×（2+6）×4-

1

2

×2×6
=16．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中常用的解題方法，學(xué)生做題要靈活運用．