Question

（2012•安岳縣模擬）如圖：直線y=ax+b分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y=

k

x

，（x＞0）相交于點(diǎn)P，PC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），PC=3．
（1）求雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)Q在雙曲線上，且QH⊥x軸于點(diǎn)H，△QCH與△AOB相似，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的解析式及其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)三角形的面積k值從而求出雙曲線的函數(shù)解析式．
（2）利用（1）我們可以求出△AOB各邊的長，然后利用三角形相似求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)就可以．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)y₁=kx+b，
∴

-4k+b=0 b=2

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
故直線AB解析式為：y₁=

1

2

x+2，
∵PC⊥x軸，PC=3，
∴3=

1

2

x+2，
解得：x=2，
故P（2，3），
則3=

K

2

，
解得k=6，
故雙曲線的解析式為：y=

6

x

；

（2）根據(jù)Q點(diǎn)在雙曲線上，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，

6

m

），
由A，B點(diǎn)的坐標(biāo)可得：BO=2，AO=4，CO=2，
當(dāng)△QCH∽△BAO時(shí)，

QH

BO

=

CH

AO

，

6 m

2

=

m-2

4

，
解得：m₁=1+

13

，m₂=1-

13

＜0（不合題意舍去），
則

6

m

=

6

1+ 13

=

13 -1

2

，
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

13

+1，

13 -1

2

）；
當(dāng)△QCH∽△ABO時(shí)，

CH

BO

=

QH

AO

，

m-2

2

=

6 m

4

，
解得：m₁=-1＜0（不合題意舍去），m₂=3，
則

6

m

=

6

3

=2，
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，2）．
綜上所述：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

13

+1，

13 -1

2

）；（3，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合試題以及用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象中三角形面積的運(yùn)用、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．進(jìn)行分類討論得出Q點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．