【題目】教材在探索平方差公式時利用了面積法,面積法除了可以幫助我們記憶公式,還可以直觀地推導或驗證公式,俗稱“無字證明”,例如,著名的趙爽弦圖(如圖①,其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都為b,斜邊長都為c),大正方形的面積可以表示為c2 , 也可以表示為4×ab+(a-b)2由此推導出重要的勾股定理:如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則a2+b2=c2 .
(1)圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”,請你利用圖②推導勾股定理.
(2)如圖③,直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,則斜邊AB上的高CD的長為多少?
(3)試構造一個圖形,使它的面積能夠解釋(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 , 畫在如圖4的網格中,并標出字母a、b所表示的線段.
【答案】(1)詳見解析;(2) ;(3)詳見解析>
【解析】
(1)梯形的面積可以由梯形的面積公式求出,也利用三個直角三角形面積求出,兩次求出的面積相等列出關系式,化簡即可得證;
(2)已知兩直角邊,利用勾股定理求出斜邊長,再利用面積法即可求出斜邊上的高.
(3)已知圖形面積的表達式,即可根據(jù)表達式得出圖形的邊長的表達式,即可畫出圖形.
解:(1)梯形ABCD的面積為(a+b)(a+b)=
a2+ab+
b2 ,
也利用表示為ab+
c2+ab,
∴a2+ab+
b2=
ab+
c2+
ab,即a2+b2=c2
(2)∵直角三角形的兩直角邊分別為3,4,
∴斜邊為5,
∵設斜邊上的高為h,直角三角形的面積為×3×4=
×5×h,
∴h=.
(3)∵圖形面積為:(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2 ,
∴邊長為(a+2b)(a+b),
由此可畫出的圖形為:
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【題目】合肥百貨大廈某店賣一種狗寶寶布娃娃紀念品,已知成批購進時單價為4元,根據(jù)市場調查,銷售量與銷售單價在一段時間內滿足如下關系:單價為10元時銷售量為300枚,而單價每降低1元,就可多售出5枚,那么求可獲得最大利潤為__元.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面內,將△ABC繞點A旋轉到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′=________
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【題目】如圖,已知△ABC≌△DEF,點B、E、C、F在同一直線上,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度數(shù)與DH的長;
(2)求證:AB∥DE.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后,得到△DEC,點D剛好落在AB邊上.
(1)求n的值;
(2)若F是DE的中點,判斷四邊形ACFD的形狀,并說明理由.
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【題目】在同一平面內,△ABC和△ABD如圖①放置,其中AB=BD.
小明做了如下操作:
將△ABC繞著邊AC的中點旋轉180°得到△CEA,將△ABD繞著邊AD的中點旋轉180°得到△DFA,如圖②,請完成下列問題:
(1)試猜想四邊形ABDF是什么特殊四邊形,并說明理由;
(2)連接EF,CD,如圖③,求證:四邊形CDEF是平行四邊形.
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【題目】如圖,請在下列四個關系中,選出兩個恰當?shù)年P系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫出一種即可)
關系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四邊形ABCD中, , ;
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
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【題目】夏季即將來臨,某電器超市銷售每臺進價分別為200元、170元的A,B兩種型號的電風扇,下表是近兩周的銷售情況:
銷售時段 | 銷售數(shù)量 | 銷售收入 | |
A種型號 | B種型號 | ||
第一周 | 2臺 | 3臺 | 1130元 |
第二周 | 5臺 | 6臺 | 2510元 |
(進價、售價均保持不變,利潤=銷售收入-進貨成本)
(1)分別求出A,B兩種型號電風扇的銷售單價;
(2)若超市準備用不超過5400元的金額再采購這兩種型號的電風扇共30臺,求A種型號的電風扇最多能采購多少臺?
(3)在(2)的條件下,超市銷售完這30臺電風扇能否實現(xiàn)利潤為1400元的目標?若能,請給出相應的采購方案;若不能,請說明理由.
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