Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線與⊙O的交點(diǎn)為D，DE⊥AC，與AC的延長線交于點(diǎn)E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若OE與AD交于點(diǎn)F，cos∠BAC=

4

5

，求

DF

AF

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線定義和等腰三角形性質(zhì)推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；
（2）連接BC，推出矩形ECGD，設(shè)AC=4a，AB=5a，求出OD、求出OG的長，推出CE=DG，求出CE長，求出AE，證△AEF和△OFD相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）證明：連接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴直線DE是⊙O的切線．

（2）連接BC交OD于G，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
設(shè)AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，
∴OA=OD=OB=2.5a，
∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，
∴四邊形ECGD是矩形，
∵OG為△ABC中位線，
∴G為BC中點(diǎn)
∴DE=CG=1.5a，
∵OD∥AE，OA=OB，
∴CG=BG，
∴OG=

1

2

AC=2a，
∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，
∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△DOF，
∴

DF

AF

=

OD

AE

=

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，勾股定理，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，題目較好，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，主要培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理的能力．