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        1. (2013•門頭溝區(qū)一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點(diǎn),過點(diǎn)M作DM⊥AB,交弦AC于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且DC=DE.
          (1)求證:DC是⊙O的切線;
          (2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
          513
          ,求⊙O半徑的長(zhǎng).
          分析:(1)連接OC,由OA=OC,DC=DE,利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等,根據(jù)DM垂直于AC,得到一對(duì)角互余,等量代換得到∠OCD=90°,即可得到DC為圓O的切線;
          (2)過D作DG垂直于AC,連接OB,利用三線合一得到G為CE中點(diǎn),由CE長(zhǎng)求出EG長(zhǎng),利用對(duì)頂角相等得到∠DEG=∠AEM,確定出cos∠DEG=cos∠AEM,在直角三角形DEG中,利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng),再利用勾股定理求出DG的長(zhǎng),由DM-DE求出EM的長(zhǎng),由一對(duì)直角相等,一對(duì)對(duì)頂角相等得到三角形AEM與三角形DEG相似,由相似得比例求出AM與AE的長(zhǎng),AE+EC求出AC的長(zhǎng),由AB為圓的直徑,得到三角形ABC為直角三角形,利用銳角三角函數(shù)定義表示出cosA,即可求出AB的長(zhǎng),進(jìn)而確定出圓的半徑.
          解答:(1)證明:如圖,連結(jié)OC,
          ∵OA=OC,DC=DE,
          ∴∠A=∠OCA,∠DCE=∠DEC,
          又∵DM⊥AB,
          ∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°,
          ∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°,
          ∴DC是⊙O的切線;
          (2)如圖所示,過D作DG⊥AC,連接OB,
          ∵DC=DE,CE=10,
          ∴EG=
          1
          2
          CE=5,
          ∵cos∠DEG=cos∠AEM=
          EG
          DE
          =
          5
          13
          ,
          ∴DE=13,
          ∴DG=
          DE2-EG2
          =12,
          ∵DM=5,
          ∴EM=DM-DE=2,
          ∵∠AME=∠DGE=90°,∠AEM=∠DEG,
          ∴△AEM∽△DEG,
          AM
          DG
          =
          EM
          EG
          =
          AE
          DE
          ,即
          AM
          12
          =
          2
          5
          =
          AE
          13

          ∴AM=
          24
          5
          ,AE=
          26
          5
          ,
          ∴AC=AE+EC=
          76
          5
          ,
          ∵AB為圓O的直徑,
          ∴∠ACB=90°,
          ∴cosA=
          AM
          AE
          =
          AC
          AB
          ,
          ∴AB=
          247
          15
          ,
          則圓O的半徑為
          1
          2
          AB=
          247
          30
          點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的判定,以及相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          4
          3
          πcm2
          ,則扇形的弧長(zhǎng)和圓心角的度數(shù)分別為(  )

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          10
          3
          10
          3
          m.

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          (2)當(dāng)t為何值時(shí),△CQE的面積最大?最大值為多少?
          (3)在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)t為何值時(shí),在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)存在點(diǎn)H,使得以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?

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