Question

如圖，拋物線（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長度的最大值，并求此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（3）滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值。
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為。由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為，易求DF關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)最值原理來求線段DF的最大值。
（3）對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：點(diǎn)P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答。
解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1）代入得，
．解得。
∴拋物線的表達(dá)式為。
（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）。
設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，

則，解得。
∴直線MA的表達(dá)式為。
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為。
∴。
∴當(dāng)時，DF的最大值為。
此時，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為。
（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似。
設(shè)P，
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限。
①設(shè)點(diǎn)P在第二象限時，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3或m=﹣8。
∵此時﹣3＜m＜0，∴此時滿足條件的點(diǎn)不存在。
②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，
∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。
當(dāng)m=﹣8時，，∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）。

③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時，
若AN=3PN時，則，
即m²+m﹣6=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=2。
當(dāng)m=2時，，
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）。
若PN=3NA，則，即m²﹣7m﹣30=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=10。
當(dāng)m=10時，，∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，﹣39）。
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。