Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²﹣2mx+m²+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）當(dāng)k=1，m=0，1時(shí)，求AB的長；
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．
（3）當(dāng)m=0，無論k為何值時(shí)，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．
（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．

Answer 1

（1）AB=
（2）猜想：當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，AB的長不變，即AB=。理由見解析。
（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，△AOB為直角三角形，理由見解析。

分析：（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²，直線的解析式為y=x+1，聯(lián)立，得x²﹣x﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB=；同理，當(dāng)k=1，m=1時(shí)，AB=。
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，聯(lián)立，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1，同（1）可求出AB=；
（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，聯(lián)立，得x²﹣kx﹣1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形。
解：（1）當(dāng)k=1，m=0時(shí)，如圖，

由得x²﹣x﹣1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=﹣1，
過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)C，
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形。
∴ 。
同理，當(dāng)k=1，m=1時(shí)，AB=。
（2）猜想：當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，AB的長不變，即AB=。理由如下：
由，得x²﹣（2m+1）x+m²+m﹣1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m﹣1。
∴。
（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，△AOB為直角三角形，理由如下：
由，得x²﹣kx﹣1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=﹣1。
∴AB²=（x₁﹣x₂）²+（y₁﹣y₂）²=（x₁﹣x₂）²+（kx₁﹣kx₂）²=（1+k²）（x₁﹣x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²﹣4x₁•x₂]=（1+k²）（4+k²）=k⁴+5k²+4。
又∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²。
∴△AOB為直角三角形。