Question

某課外活動(dòng)小組對(duì)課本上的一道習(xí)題學(xué)習(xí)后，進(jìn)行了拓展應(yīng)用：
（1）如圖1，是在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短（畫圖即可）．
（2）如圖2，應(yīng)用：已知正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)P，使得PA+PE的值最小，并說明理由．
（3）探索：E為正方形ABCD的AB邊的中點(diǎn)，如圖3，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連接EM，MN，NA，請(qǐng)你應(yīng)用（1）的原理在圖2中找出點(diǎn)M，N，使得EM+MN+NA的值最小，畫圖即可．

Answer 1

（1）如圖所示：

（2）作E點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接AE′，與BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．
因?yàn)锳P+PE=AP+PE′=AE′，此時(shí)A，P，E′三點(diǎn)共線，
所以此時(shí)此時(shí)PA+PE=AE′最小；

（3）作F 和E關(guān)于BC對(duì)稱 再作G 和F關(guān)于CD對(duì)稱，連接AG，當(dāng)N為AG和CD交點(diǎn)時(shí)最小
此時(shí)M為NF和BC的交點(diǎn)，
理由：


作了對(duì)稱后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≥FN，
當(dāng)且僅當(dāng)F，M，N，3點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，
同理可知道EM+MN+NA最小值．