Question

某課外活動(dòng)小組對(duì)課本上的一道習(xí)題學(xué)習(xí)后，進(jìn)行了拓展應(yīng)用：
（1）如圖1，是在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短（畫(huà)圖即可）．
（2）如圖2，應(yīng)用：已知正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，在線(xiàn)段BD上找一點(diǎn)P，使得PA+PE的值最小，并說(shuō)明理由．
（3）探索：E為正方形ABCD的AB邊的中點(diǎn)，如圖3，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連接EM，MN，NA，請(qǐng)你應(yīng)用（1）的原理在圖2中找出點(diǎn)M，N，使得EM+MN+NA的值最小，畫(huà)圖即可．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）作E點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接AE′，與BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．
因?yàn)锳P+PE=AP+PE′=AE′，此時(shí)A，P，E′三點(diǎn)共線(xiàn)，
所以此時(shí)此時(shí)PA+PE=AE′最�。�

（3）作F 和E關(guān)于BC對(duì)稱(chēng) 再作G 和F關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，連接AG，當(dāng)N為AG和CD交點(diǎn)時(shí)最小
此時(shí)M為NF和BC的交點(diǎn)，
理由：
作了對(duì)稱(chēng)后有EM=FM，所以EM+MN=FM+MN≥FN，
當(dāng)且僅當(dāng)F，M，N，3點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小，
同理可知道EM+MN+NA最小值．
分析：（1）先作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′P+PB=A′B，由“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”可知，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．
（2）首先作E點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，再連接AE′，與BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．此時(shí)PA+PE=AE′最��；
（3）首先作F 和E關(guān)于BC對(duì)稱(chēng) 再作G 和F關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，再連接AG，當(dāng)N為AG和CD交點(diǎn)時(shí)最小，此時(shí)M為NF和BC的交點(diǎn)，得出圖形即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性解決最短距離問(wèn)題，特別是（3）中利用軸對(duì)稱(chēng)得出當(dāng)且僅當(dāng)F，M，N，3點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)EM+MN=FM+MN=FN是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．