Question

如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上的一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于N．
（1）求證：MD=MN；
（2）若將上述條件中的“M為AB邊的中點”改為“M為AB邊上任意一點”，其余條件不變，則結論“MD=MN”成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：取AD的中點F，連接FM．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN，
∵ AF=AD=AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，
在△DFM和△MBN中
 
∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．
（2）解：結論“DM=MN”仍成立．
證明如下：
在AD上截取AF'=AM，連接F'M．
∵DF'=AD﹣AF'，MB=AB﹣AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB．
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
 
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．