Question

如圖，P為正方形ABCD的對(duì)稱中心，A（0，3），B（1，0），直線OP交AB于N，DC于M，點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．求：
（1）C的坐標(biāo)為

 

；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ANO與△DMR相似？
（3）△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的值．

Answer 1

分析：（1）做CQ⊥x軸，根據(jù)題意推出△AOB≌△BQC，即可推出OQ，CQ的長(zhǎng)度，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)P點(diǎn)為對(duì)稱中心，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），即可推出∠AON=45°，然后分情況進(jìn)行討論，①當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，②當(dāng)∠DRM=45°時(shí)；
（3）①根據(jù)R和H點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，∠ROH=45°，推出RH始終垂直于x軸，即可推出OH的長(zhǎng)度，便可推出RH邊上高的長(zhǎng)度，根據(jù)面積公式即可推出S與t的函數(shù)式；
②分情況進(jìn)行討論，頂邊和底邊分別為BC、AR，此時(shí)BC∥AR，結(jié)合已知和已證求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，求出t即可；頂邊、底邊分別為CR、AB，此時(shí)CR∥AB，結(jié)合已知和已證求出R點(diǎn)的坐標(biāo)，求出t即可．

解答：解：（1）做CQ⊥x軸，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBQ=∠OAB，
∴△AOB≌△BQC，
∴CQ=OB，BQ=OA，
∵A（0，3），B（1，0），
∴BQ=3，CQ=1，
∴OQ=4，
∴C（4，1）；

（2）∵P是正方形的對(duì)稱中心，由A（0，3），C（4，1），
∴P（2，2）；
∴∠MOB=45°，
∴∠AON=45°，
∵點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴OR=

2

t，OH=t，
∴RH∥y軸，即R、H的橫坐標(biāo)相同；
∵AB∥CD，
∴∠DMR=∠ANO，
若△ANO與△DMR相似，
則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°，
①當(dāng)∠MDR=45°時(shí)，R、P重合，
∵R（2，2），
∴t=2；
②當(dāng)∠DRM=45°時(shí)，DR∥y軸，
∵D（3，4），
∴R（3，3），
∴t=3，
∴當(dāng)t=2或t=3時(shí)，△ANO與△DMR相似．

（3）①∵R速度為

2

，H速度為1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始終垂直于x軸，
∴RH=OH=t，
 設(shè)△HCR的邊RH的高為h，
∴h=|4-t|．
∴S_△HCR=h•t•

1

2

=|-t²+4t|•

1

2

，
∴S=-

1

2

t²+2t（0＜t≤4）；S=

1

2

t²-2t（t＞4）；
②以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形，有三種可能：
 1．頂邊和底邊分別為BC、AR，此時(shí)BC∥AR．
延長(zhǎng)AD，使其與OM相交于點(diǎn)R，
∴AD的斜率=tan∠BAO=

1

3

，
∴直線AD為：y=

x

3

+3．
∴R坐標(biāo)為（4.5，4.5），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形，
∴t=4.5
 2．頂邊、底邊分別為CR、AB，此時(shí)CR∥AB，且R與M重合．
∴CD的斜率=-3，且直線CD過(guò)點(diǎn)C，
∴直線CD為：y-1=-3•（x-4），
∴y=-3x+13，
∵OM與CD交于點(diǎn)M（即R），
∴M為（

13

4

，

13

4

），
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形，
∴t=

13

4

，
3．當(dāng)AC和BR是梯形的底時(shí)，
AC的解析式是y=kx+b，則

b=4 4k+b=0

，
解得：

b=4 k=-1

，則解析式是y=-x+4，
設(shè)BC的解析式是y=-x+c，則-1+c=0，
解得：c=1，
則函數(shù)的解析式是y=-x+1，
進(jìn)而求出R坐標(biāo)（

1

3

，

1

3

）求出t=

1

3

．
∴當(dāng)CR∥AB時(shí)，t=

13

4

，S=

39

32

，
當(dāng)AR∥BC時(shí)，t=

9

2

，S=

9

8

，
當(dāng)BR∥AC時(shí)，t=

1

3

，S=

11

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的思想．