Question

已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點(diǎn)，一動點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)到，連結(jié)DP，作CN⊥DP于點(diǎn)M，且交直線AB于點(diǎn)N，連結(jié)OP，ON。（當(dāng)P在線段BC上時，如圖9：當(dāng)P在BC的延長線上時，如圖10）
（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：
 ①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON         
(2)  設(shè)AB=4，BP=，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與的函數(shù)關(guān)系。

Answer 1

證明：對于圖1，
（1）①∵ABCD為正方形，                        
∴∠DCP=90^。，△DCP為Rt△，                        
同理：△CBN為Rt△，                        
而CM⊥DP
∴∠PCM=∠CDP                        
在Rt△DCP與Rt△CBN中：                        
∠DCP=∠CBN=90^。                      
∠CDP=∠PCN,
                       
 CD=BC                       
 ∴Rt△DCP≌Rt△CBN                       
 ∴CP=BN                    
②而∠OCP=∠OBN=45^。                         
OC=OB                      
∴△COP≌△BON
∴ON=OP  ∠COP=∠BON                      
又∵OC⊥OB                        
∴∠COB=∠COP+∠POB=90^。                              
=∠BON+∠POB=90^。                     
∴ON⊥OP                    
（2）S_{四邊形OPBN}=S_△ONB+S_△OPB                              
==4 (0<x≤4)          
對于圖2，
（1）①∵ABCD為正方形，AC，BD為對角線∴∠DCP=90^。，                        
而CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC                        
∴∠PDB=∠ACN                      
又∵∠DPB=∠ANC                              
BD=AC                        
∴△PDB≌△NCA                        
∴PB=AN   DP=CN                        
∴CP=BN                     
 ② 而∠PDB=∠ACN                      
且 OD=OC                      
∴△PDO≌△NCO                      
∴OP=ON，∠DOP=∠CON                      
∵∠DOC=90^。 ，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC                      
=∠DOC=90^。 ，∴OP⊥ON。                  
（2）S_{四邊形OBNP}=S_△OBP+S_△PBN   (x≥4)