Question

已知四邊形ABCD是正方形，M、N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖①，設(shè)O是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若OM⊥ON，求證：BM=CN，
（2）在（1）的條件下，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，求四邊形MONC的面積；
（3）如圖②，若∠MAN=45°試說(shuō)明△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出△BOM≌△CON，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出ON=OM；
（2）由全等可以得出S_△BOM=S_△CNF，就可以得出S_{四邊形MONC}=S_△BOC，S_△BOC的面積就可以得出結(jié)論；  
（3）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADN90°得到△ABE，得出△ABE≌△ADN，由全等三角形的性質(zhì)可以得出△ANM≌△AEM，進(jìn)而有MN=ME=MB+BE，分別表示出C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．C_{正方形ABCD}=AB+BC+CD+AD=4BC．從而可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，．AB=BC=DC=AD．
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°，
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON．
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBC=∠OCD

，
△OBM≌△OCN（ASA）．
∴OM=ON；

（2）∵△OBM≌△OCN，
∴S_△OBM=S_△OCN．
∴S_△OBM+S_△MOC=S_△OCN+S_△MOC，
即S_△OBC=S_{四邊形MONC}．
∵S_△OBC=4×4×

1

4

=4，
∴S_{四邊形MONC}=4；

（3）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADN90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴∠4=∠1．AE=AN，BE=DN．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°．
∵∠4+∠3=∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠2．
在△ANM和△AEM中，

AN=AE ∠2=∠MAE AM=AM

，
∴△ANM≌△AEM（SAS），
∴MN=ME=MB+BE，
∴MN=DN+MB．
∵C_△MNC=MN+MC+CN，
∴C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC．
∴△MCN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD周長(zhǎng)的一半．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的周長(zhǎng)和正方形的周長(zhǎng)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等得出OM=ON是關(guān)鍵．