Question

【題目】已知：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，M為它的頂點(diǎn)

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求△MCB的面積；

（3）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC最小時(shí)，求最小值。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+3；（2）3；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）先求出直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即可得出MN，再用面積之和即可得出結(jié)論；

（3）先根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，判斷出點(diǎn)P是直線BC與拋物線的對(duì)稱軸l的交點(diǎn)，根據(jù)（2）直接得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，

∴，

∴，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖1，

由（1）知，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+3；

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，M（1，4），

∵B（3，0）、C（0，3），

∴直線BC解析式為y=-x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=2，

∴N（1，2）．

∴MN=2，OB=3，

∴S△MCB=S△MNC+S△MNB=MN×OB=×2×3=3；

（3）如圖2，

∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸，且A，B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，

∴PA+PC最小時(shí)，點(diǎn)P就是直線BC與直線l的交點(diǎn)，

由（2）知，拋物線與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），

∴點(diǎn)P（1，2）．