Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接，作交射線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)、，作射線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)

（1）求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）GE的長(zhǎng)為，

【解析】

（1）要證明EF＝DE，只要證明△DME≌△ENF即可，然后根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，可以得到△DME≌△ENF的條件，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；均可根據(jù)勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的長(zhǎng)，然后即可得到GE的長(zhǎng)．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線(xiàn)，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEM＋∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中

，
∴△DME≌△ENF（ASA），

∴

（2）如圖1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，

∴ME＝NF，
∵四邊形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE＝，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG＋GC，
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GCCE＝-=；
如圖2所示，

同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AF∥CD，
∴△GAF∽△GCD，
∴，
即，
解得，AG＝4，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE＝，
∴GE＝GA＋AE＝5．