Question

（2003•遼寧）如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)：y=-2x-8與y軸交于P．
（1）求證：PC是⊙D的切線(xiàn)；
（2）判斷在直線(xiàn)PC上是否存在點(diǎn)E，使得S_△EOP=4S_△CDO，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)直線(xiàn)PC繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與劣弧AC交于點(diǎn)F（不與A、C重合），連接OF，設(shè)PF=m，OF=n，求m、n之間滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得C（，0），P（0，-8），根據(jù)cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，即PC是⊙D的切線(xiàn)；
（2）設(shè)直線(xiàn)PC上存在一點(diǎn)E（x，y），使S_△EOP=4S_△CDO×8×|x|，解得x=±，由y=-2x-8可知：當(dāng)x=時(shí)，y=-12，當(dāng)x=-時(shí)，y=-4，所以在直線(xiàn)PC上存在點(diǎn)E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；
（3）作直線(xiàn)PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，由切割線(xiàn)定理得：PC²=PF•PQ①，易證△CPD∽△OPC，，即PC²=PO•PD，可知PO•PD=PF•PQ，∠FPO=∠DPQ，從而證明△FPO∽△DPQ，即，即m=3n（2＜n＜）．
解答：（1）證明：直線(xiàn)y=與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、P，
∴C（，0），P（0，-8），
∴cot∠OCD=，cot∠OPC=，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切線(xiàn)；

（2）解：設(shè)直線(xiàn)PC上存在一點(diǎn)E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，
×8×|x|=4××1×2，
解得x=±，由y=-2x-8可知：
當(dāng)x=時(shí)，y=-12，
當(dāng)x=-時(shí)，y=-4，
∴在直線(xiàn)PC上存在點(diǎn)E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

（3）解法一：
作直線(xiàn)PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，
由切割線(xiàn)定理得：PC²=PF•PQ①，
在△CPD和△OPC中，
∵∠PCD=∠POC=90°，∠CPD=∠OPC，
∴△CPD∽△OPC，
∴，
即PC²=PO•PD②，
由①、②得：PO•PD=PF•PQ，
又∵∠FPO=∠DPQ，
∴△FPO∽△DPQ，即，
∴m=3n（2＜n＜）．
解法二：作直線(xiàn)PF交劣弧AC于F，
設(shè)F（x，y），作FM⊥y軸，M為垂足，連接OF，
∵m²-（-8-y）²=x²，
n²-y²=x²，
∴m²-64-16y-y²=n²-y²，
即m²-64-16y=n²①，
又∵3²-（1-y）²=x²，
∴3²-（1-y）²=n²-y²，
解得y=②，
將②代入①，解得：m=3n，m=-3n（舍），
∴m=3n（2＜n＜）．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和相似三角形的性質(zhì)來(lái)表示相應(yīng)的線(xiàn)段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．