Question

在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：

若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|；

若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|y₁﹣y₂|．

例如：點P₁（1，2），點P₂（3，5），因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點P₁與點P₂的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點）．

（1）已知點A（﹣，0），B為y軸上的一個動點，

①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；

②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線y=x+3上的一個動點，

①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點C的坐標；

②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點E與點C的坐標．

　

Answer 1

解：（1）①∵B為y軸上的一個動點，

∴設(shè)點B的坐標為（0，y）．

∵|﹣﹣0|=≠2，

∴|0﹣y|=2，

解得，y=2或y=﹣2；

∴點B的坐標是（0，2）或（0，﹣2）；

②點A與點B的“非常距離”的最小值為

（2）①如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據(jù)運算定義“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”解答，此時|x₁﹣x₂|=|y₁﹣y₂|．即AC=AD，

∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），

∴設(shè)點C的坐標為（x₀，x₀+3），

∴﹣x₀=x₀+2，

此時，x₀=﹣，

∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=，

此時C（﹣，）；

②當點E在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，設(shè)E（x，y）（點E位于第二象限）．則

，

解得，，

故E（﹣，）．

﹣﹣x₀=x₀+3﹣，

解得，x₀=﹣，

則點C的坐標為（﹣，），

最小值為1．