Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內(nèi)，過點P作⊙O的切線與x軸相交于點A，與y軸相交于點B．
（1）點P在運動時，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q，O，A，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，設AB的中點為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，所以當OC與OP重合時，OC最短；
（2）分兩種情況：如圖（1），當四邊形APOQ是正方形時，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得點Q的坐標為（

2

，-

2

），如圖（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得點Q的坐標為（-

2

，

2

）．

解答：解：（1）線段AB長度的最小值為4，
理由如下：
連接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中點C，
則AB=2OC；
當OC=OP時，OC最短，
即AB最短，
此時AB=4；

（2）設存在符合條件的點Q，
如圖①，設四邊形APOQ為平行四邊形；
∵∠APO=90°，
∴四邊形APOQ為矩形，
又∵OP=OQ，
∴四邊形APOQ為正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根據(jù)OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q點坐標為（

2

，-

2

）；
如圖②，設四邊形APQO為平行四邊形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y軸；
設PQ⊥y軸于點H，
在Rt△OHQ中，根據(jù)OQ=2，∠HQO=45°，
得Q點坐標為（-

2

，

2

）．
∴符合條件的點Q的坐標為（

2

，-

2

）或（-

2

，

2

）．

點評：本題利用了切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．