Question

【題目】△ABC是等邊三角形，點E、F分別為射線AC、射線CB上兩點，CE=BF，直線EB、AF交于點D.

（1）當E、F在邊AC、BC上時如圖，求證：△ABF≌△BCE.

（2）當E在AC延長線上時，如圖，AC=10,S△ABC=25，EG⊥BC于G，EH⊥AB于H，HE=8，EG= .

（3）E、F分別在AC、CB延長線上時，如圖，BE上有一點P，CP=BD,∠CPB是銳角，求證：BP=AD.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）△ABC是等邊三角形，由AB=BC，∠ABF=∠BCE=60°，證明全等即可；

（2）記BG，HE交于點O，先求出∠CEO=30°，即可求出AE的長，從而求出EG；

（3）先證明△ABF≌△BCE，再由BD=CP，∠CPB為銳角，證明△ABD≌△BCP即可.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABF=∠BCE=60°，

在△ABF和△ADF中

∴△ABF≌△BCE（SAS）；

（2）記BG，HE交于點O，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵EH⊥AB，EG⊥BG，

∴∠BHE=∠EGC=90°，

∴∠EOG=∠BOH=30°，

∴∠CEO=30°，∠CEG=30°，

∵HE=8，

∴AH=8，

∴AE=2AH=16，

∵AC=10，

∴CE=6，

∴CG=3，

∴EG=；

（3）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABF=∠BCE=120°，

在△ABF和△BCE中

∴△ABF≌△BCE（SAS），

∴AF=BE，∠AFB=∠BEC，∠FAB=∠EBC，

∵∠FBD=∠CBE，

∴∠FDB=∠BCE=120°，

∴∠ADB=60°，

∵△ABF≌△BCE（SAS），BD=CP，∠CPB為銳角，

∴∠CPB=∠BDA=60°，

在△ABD和△BCP中

∴△ABD≌△BCP（AAS），

∴BP=AD.